Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} \end{array}]$

Bước 1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia $6$ cho $32.5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.2

Nhân $- 1$ với $0.1\overline{846153}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.3

Chia $18$ cho $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.4

Chia $6$ cho $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 1 \cdot 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $0.\overline{158730}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.6

Chia $30$ cho $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.7

Nhân $- 1$ với $0.\overline{952380}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.8

Chia $30$ cho $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 1 \cdot 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $0.84745762$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.10

Chia $30$ cho $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 1 \cdot 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.11

Nhân $- 1$ với $0.\overline{793650}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.12

Chia $7.5$ cho $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.13

Nhân $- 1$ với $0.\overline{238095}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.14

Chia $5.4$ cho $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 1 \cdot 0.15254237 & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Bước 2.15

Nhân $- 1$ với $0.15254237$ .

Bước 2.16

Chia $22.2$ cho $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 1 \cdot 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.17

Nhân $- 1$ với $0.\overline{587301}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.18

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.1\overline{846153}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0.50847457}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{- 0.\overline{158730}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0}{- 0.1\overline{846153}} \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.18.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.19

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.19.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} + 0.\overline{952380} \cdot 1 & - 0.84745762 + 0.\overline{952380} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{793650} + 0.\overline{952380} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{952380} \cdot 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.19.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Bước 2.20

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} + 0.\overline{238095} \cdot 1 & - 0.15254237 + 0.\overline{238095} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{587301} + 0.\overline{238095} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{238095} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.20.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Bước 2.21

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{- 3.47054075}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{1}{- 3.47054075}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ \frac{0}{- 3.47054075} & \frac{- 3.47054075}{- 3.47054075} & \frac{0.02519526}{- 3.47054075} & \frac{0}{- 3.47054075} \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Bước 2.21.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Bước 2.22

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.22.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 + 0.80831315 \cdot 0 & - 0.80831315 + 0.80831315 \cdot 1 & - 0.38259007 + 0.80831315 \cdot - 0.00725975 & 0 + 0.80831315 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.22.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.38845822 & 0 \end{array}]$

Bước 2.23

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{- 0.38845822}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.23.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{- 0.38845822}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{- 0.38845822}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} \end{array}]$

Bước 2.23.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.24

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.24.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 + 0.00725975 \cdot 0 & 1 + 0.00725975 \cdot 0 & - 0.00725975 + 0.00725975 \cdot 1 & 0 + 0.00725975 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.24.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.25

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.25.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & - 2.75423728 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & 0.8\overline{597883} - 0.8\overline{597883} \cdot 1 & 0 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.25.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.26

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.26.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2.75423728 \cdot 0 & - 2.75423728 + 2.75423728 \cdot 1 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.26.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Bước 4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 5

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$