Тригонометрия Примеры

$A = 60 °$ $b = 9$ $a = 16$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{9} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $9 \frac{\sin (60 °)}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\sin (60 °)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (B) = 9 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16})$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{16}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{32}$

Этап 3.2.2.1.4

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{3}}{32}$ .

$\sin (B) = \frac{9 \sqrt{3}}{32}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$ .

$B = 29.15272817$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 29.15272817$

Этап 3.6

Вычтем $29.15272817$ из $180$ .

$B = 150.84727182$

Этап 3.7

Решение уравнения $B = 29.15272817$ .

$B = 29.15272817, 150.84727182$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$B = 29.15272817$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$60 ° + C + 29.15272817 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $60 °$ и $29.15272817$ .

$C + 89.15272817 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $89.15272817$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 89.15272817$

Этап 5.2.2

Вычтем $89.15272817$ из $180$ .

$C = 90.84727182$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (90.84727182)}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (90.84727182)$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Этап 8.1.2

Точное значение $\sin (60 °)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Этап 8.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 8.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{16}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 32$

Этап 8.2.2

Так как $c, 32$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 32$ , затем найдем НОК для части с переменной $c^{1}$ .

Этап 8.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 8.2.5

Простыми множителями $32$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

У $32$ есть множители: $2$ и $16$ .

$2 \cdot 16$

Этап 8.2.5.2

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Этап 8.2.5.3

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 8.2.5.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16 \cdot 2$

Этап 8.2.6.4

Умножим $16$ на $2$ .

$32$

Этап 8.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 8.2.8

НОК $c^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$c$

Этап 8.2.9

НОК $c, 32$ представляет собой произведение числовой части $32$ и переменной части.

$32 c$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ умножим на $32 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ на $32 c$ .

$\frac{0.99989066}{c} (32 c) = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 \frac{0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.2.2

Умножим $32 \frac{0.99989066}{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Объединим $32$ и $\frac{0.99989066}{c}$ .

$\frac{32 \cdot 0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.2.2.2

Умножим $32$ на $0.99989066$ .

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 c$ .

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 (c))$

Этап 8.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Этап 8.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$31.99650125 = \sqrt{3} c$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3} c = 31.99650125$ .

$\sqrt{3} c = 31.99650125$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} c = 31.99650125$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} c = 31.99650125$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Умножим $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.4.2.3.3

Умножим $31.99650125$ на $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{55.41956583}{3}$

Этап 8.4.2.3.4

Разделим $55.41956583$ на $3$ .

$c = 18.47318861$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 60 °$

$B = 29.15272817$

$C = 90.84727182$

$a = 16$

$b = 9$

$c = 18.47318861$