Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3} \csc (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3} \csc (θ) = 2$

Этап 2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\csc (θ)$ на $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 5

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Этап 6

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 6.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\csc (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Этап 9.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Этап 9.1.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $\frac{π}{3}$ и $0$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 9.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 9.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $\frac{2 π}{3}$ и $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 9.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$