Тригонометрия Примеры

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $θ$ , производная $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ по $θ$ равна $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Этап 1.3.2

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $θ$ , производная $\frac{3 θ}{2}$ по $θ$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.3

Объединим $\frac{- 12}{2}$ и $\sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.4

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.3.4.2.4

Разделим $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ на $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $θ$ , производная $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ по $θ$ равна $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $θ$ , производная $\frac{3 θ}{2}$ по $θ$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.3

Объединим $\frac{- 18}{2}$ и $\cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.4

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Этап 2.3.2.4.2.4

Разделим $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ на $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{3 θ}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 6$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{3 θ}{2} = 0$

Этап 7

Приравняем числитель к нулю.

$3 θ = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $3 θ = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 θ = 0$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$θ = 0$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

Этап 10

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = \frac{2}{3} π$

Этап 10.2.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 11

Решение уравнения $\frac{3 θ}{2} = 0$ .

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $θ = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (0)$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Этап 13.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Этап 13.1.2.4

Разделим $3 \cdot (0)$ на $1$ .

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

Этап 13.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- 9 \cos (0)$

Этап 13.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 9 \cdot 1$

Этап 13.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9$

Этап 14

$θ = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$θ = 0$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $0$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (0)$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Этап 15.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Этап 15.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Этап 15.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Этап 15.2.1.2.4

Разделим $3 \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

Этап 15.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

Этап 15.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Этап 15.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f (0) = 4$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 16

Найдем вторую производную в $θ = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Этап 17.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Этап 17.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Этап 17.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Этап 17.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Этап 17.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Этап 17.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 17.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Сократим общий множитель.

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 17.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- 9 \cos (π)$

Этап 17.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 9 (- \cos (0))$

Этап 17.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.7

Умножим $- 9 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 9 \cdot - 1$

Этап 17.7.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$9$

Этап 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$θ = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $θ = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Этап 19.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Этап 19.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Этап 19.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Этап 19.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Этап 19.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Этап 19.2.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 19.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 19.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

Этап 19.2.5

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Этап 19.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.7

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Этап 19.2.7.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Этап 19.2.8

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$(0, 4)$ — локальный максимум

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 21