Тригонометрия Примеры

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $- \frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = - \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 1$ и $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Умножим ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Этап 7

Объединим ${(- 1)}^{n - 1}$ и $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 8

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 9

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Этап 10

Умножим $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ на $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Этап 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Этап 11.2

Объединим.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Этап 12

Применим свойство дистрибутивности.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Этап 13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ в числитель.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.3.4

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.4

Единица в любой степени равна единице.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.9

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.10

Объединим $- 3$ и $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.1

Умножим $- 3$ на $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.12.2

Вычтем $243$ из $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Этап 15.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Этап 16

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Этап 17

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{244}{81}$ в числитель.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Этап 17.2

Вынесем множитель $4$ из $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Этап 17.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 17.4

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 17.5

Перепишем это выражение.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 18

Умножим $\frac{- 61}{81}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Этап 19

Умножим $81$ на $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Этап 20

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{5} = \frac{61}{81}$