Тригонометрия Примеры

$\sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x) > 0$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2

Разделим дроби.

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 8

Разделим $0$ на $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0 \sec (x)$

Этап 9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0$

Этап 10

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$

Этап 11

Разделим каждый член $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) > - 1$

Этап 12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x > \arctan (- 1)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Этап 14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 15.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 17

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 17.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 17.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 17.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 17.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 17.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 19

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

Этап 20

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 20.1.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2} \sin (4) + \sqrt{2} \cos (4) > 0$

Этап 20.1.3

Левая часть $- 1.99467202$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 20.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Ложь

Этап 21

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения