Тригонометрия Примеры

$g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Этап 1

Запишем $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{3}}{8} + 16$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$ .

$\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$

Этап 3.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{3}}{8} = x - 16$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Этап 3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Этап 3.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 8 (x - 16)$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $8 (x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 8 x + 8 \cdot - 16$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $8$ на $- 16$ .

$y^{3} = 8 x - 128$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{8 x - 128}$

Этап 3.6

Упростим $\sqrt[3]{8 x - 128}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x - 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \sqrt[3]{8 (x) - 128}$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 128$ .

$y = \sqrt[3]{8 x + 8 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot - 16$ .

$y = \sqrt[3]{8 (x - 16)}$

Этап 3.6.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3} (x - 16)}$

Этап 3.6.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Этап 4

Заменим $y$ на $g^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ обратной к $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16)$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 16) - 16}$

Этап 5.2.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Этап 5.2.4

Добавим $\frac{x^{3}}{8}$ и $0$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Этап 5.2.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Этап 5.2.6

Перепишем $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Этап 5.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (2 \sqrt[3]{x - 16})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 16})}^{3}}{8} + 16$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{x - 16}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 16}}^{3}$ в виде $x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 16}$ в виде ${(x - 16)}^{\frac{1}{3}}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {({(x - 16)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Этап 5.3.3.1.3.5

Упростим.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим $x - 16$ на $1$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x - 16 + 16$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 16 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ — обратная к $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ .

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$