Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3^{x} - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3^{x} - 1$ в виде уравнения.

$y = 3^{x} - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3^{y} - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3^{y} - 1 = x$ .

$3^{y} - 1 = x$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3^{y} = x + 1$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

Этап 3.4

Развернем $\ln (3^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ обратной к $f (x) = 3^{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $3^{x} - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $3^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Этап 5.2.4

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ — обратная к $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$