Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3 \sin (x) - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ в виде уравнения.

$y = 3 \sin (x) - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 \sin (y) - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 \sin (y) - 2 = x$ .

$3 \sin (y) - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (y) = x + 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 \sin (y) = x + 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 \sin (y) = x + 2$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sin (y)$ на $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ обратной к $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 \sin (x) - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2 + 2}{3})$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $3 \sin (x) - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) + 0}{3})$

Этап 5.2.4.2

Добавим $3 \sin (x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

Этап 5.2.5.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) - 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}) - 2$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 2 - 2$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ — обратная к $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$