Тригонометрия Примеры

$25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $25 x^{2} + 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{50}{25}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $50$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $100$ .

$e = 0 - 100$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $100$ из $0$ .

$e = - 100$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Этап 1.2

Подставим $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ вместо $25 x^{2} + 100 x$ в уравнение $25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 4 y^{2} = 0$

Этап 1.3

Перенесем $- 100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 0 + 100$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 100$

Этап 1.5

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{4 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.6

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = - 2$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Этап 4.3.4

Вычтем $4$ из $25$ .

$\sqrt{21}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2, 0 + \sqrt{21})$

Этап 5.3

Упростим.

$(- 2, \sqrt{21})$

Этап 5.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 2, 0 - (\sqrt{21}))$

Этап 5.6

Упростим.

$(- 2, - \sqrt{21})$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

Этап 6