Тригонометрия Примеры

$4 x^{2} + 36 y^{2} = 144$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 x^{2}}{144} + \frac{36 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 6$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

Этап 4.3.4

Вычтем $4$ из $36$ .

$\sqrt{32}$

Этап 4.3.5

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 \sqrt{2}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 5.3

Упростим.

$(4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 5.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (4 \sqrt{2}), 0)$

Этап 5.6

Упростим.

$(- 4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(4 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 6