Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

Этап 1

Приравняем $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ к $0$ .

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Этап 2.1.3

Подставим $- 0.\overline{6}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{6}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 0.\overline{6}$ в многочлен.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 0.\overline{6}$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.4

Возведем $- 0.\overline{6}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 16$ на $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $7.11111111$ из $- 0.\overline{8}$ .

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 30$ на $- 0.\overline{6}$ .

$- 8 + 20 - 12$

Этап 2.1.3.8

Добавим $- 8$ и $20$ .

$12 - 12$

Этап 2.1.3.9

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 0.\overline{6}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

Этап 2.1.5

Разделим $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ на $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x - 6$

Этап 2.1.6

Запишем $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ в виде набора множителей.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 6 x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 6 x - 6$ к $0$ .

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $36$ и $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

Этап 4