Тригонометрия Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Точное значение $\sin (30 °)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Этап 3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Этап 3.1.4

Точное значение $\sin (90 °)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 a, 12$

Этап 3.2.2

Так как $2 a, 12$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 12$ , затем найдем НОК для части с переменной $a^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Простыми множителями $12$ являются $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

У $12$ есть множители: $2$ и $6$ .

$2 \cdot 6$

Этап 3.2.5.2

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 3.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 3.2.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 3.2.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a$

Этап 3.2.9

НОК $2 a, 12$ представляет собой произведение числовой части $12$ и переменной части.

$12 a$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ умножим на $12 a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ на $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 a$ .

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 = a$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $a = 6$ .

$a = 6$

Этап 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 5

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Этап 6

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\sin (60 °)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Этап 6.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Этап 6.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Этап 6.1.4

Точное значение $\sin (30 °)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Этап 6.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 6.1.6

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Этап 6.1.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 b, 12$

Этап 6.2.2

Так как $2 b, 12$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 12$ , затем найдем НОК для части с переменной $b^{1}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.2.5

Простыми множителями $12$ являются $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

У $12$ есть множители: $2$ и $6$ .

$2 \cdot 6$

Этап 6.2.5.2

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 6.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 6.2.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 6.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 6.2.8

НОК $b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b$

Этап 6.2.9

НОК $2 b, 12$ представляет собой произведение числовой части $12$ и переменной части.

$12 b$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ умножим на $12 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ на $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.3

Объединим $6$ и $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 b$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Этап 6.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Этап 6.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \sqrt{3} = b$

Этап 6.4

Перепишем уравнение в виде $b = 6 \sqrt{3}$ .

$b = 6 \sqrt{3}$

Этап 7

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$