Тригонометрия Примеры

$A = 15$ , $a = 4$ , $b = 5$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 4.2.2.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 18.87616421$

Этап 4.6

Вычтем $18.87616421$ из $180$ .

$B = 161.12383578$

Этап 4.7

Решение уравнения $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$15 + C + 18.87616421 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $15$ и $18.87616421$ .

$C + 33.87616421 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $33.87616421$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 33.87616421$

Этап 6.2.2

Вычтем $33.87616421$ из $180$ .

$C = 146.12383578$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (146.12383578)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\sin (146.12383578)$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 9.1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Этап 9.1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Этап 9.1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 9.1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 9.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 9.1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Этап 9.1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 9.1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 9.1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 9.1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 9.1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 9.1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Этап 9.1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 9.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 9.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 9.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 9.1.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 16$

Этап 9.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Этап 9.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 9.2.5

Простыми множителями $16$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 8$

Этап 9.2.5.2

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 9.2.5.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 9.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 9.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2$

Этап 9.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16$

Этап 9.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 9.2.8

НОК $c^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$c$

Этап 9.2.9

НОК $c, 16$ представляет собой произведение числовой части $16$ и переменной части.

$16 c$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ умножим на $16 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ на $16 c$ .

$\frac{0.55739976}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \frac{0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.2.2

Умножим $16 \frac{0.55739976}{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Объединим $16$ и $\frac{0.55739976}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.2.2.2

Умножим $16$ на $0.55739976$ .

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 c$ .

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$8.91839623 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Этап 9.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8.91839623 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $c$ из $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $c$ из $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Этап 9.4.2.2

Вынесем множитель $c$ из $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 8.91839623$

Этап 9.4.2.3

Вынесем множитель $c$ из $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$

Этап 9.4.3

Разделим каждый член $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ на $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Разделим каждый член $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ на $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 9.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 9.4.3.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 9.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.3.1

Умножим $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Этап 9.4.3.3.2

Умножим $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Этап 9.4.3.3.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.4.3.3.4

Упростим.

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Этап 9.4.3.3.5

Умножим $8.91839623$ на $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{34.45803701}{4}$

Этап 9.4.3.3.6

Разделим $34.45803701$ на $4$ .

$c = 8.61450925$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 13.2.2.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 13.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 13.2.2.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 13.2.2.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Этап 13.2.2.1.4

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Этап 13.5

$B = 180 - 18.87616421$

Этап 13.6

Вычтем $18.87616421$ из $180$ .

$B = 161.12383578$

Этап 13.7

Решение уравнения $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$15 + C + 161.12383578 = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $15$ и $161.12383578$ .

$C + 176.12383578 = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $176.12383578$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 176.12383578$

Этап 15.2.2

Вычтем $176.12383578$ из $180$ .

$C = 3.87616421$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (3.87616421)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Найдем значение $\sin (3.87616421)$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Этап 18.1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Этап 18.1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Этап 18.1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 18.1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 18.1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Этап 18.1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Этап 18.1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 18.1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 18.1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 18.1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 18.1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Этап 18.1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Этап 18.1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 18.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Этап 18.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 18.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 18.1.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 16$

Этап 18.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Этап 18.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 18.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 18.2.5

Простыми множителями $16$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.5.1

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 8$

Этап 18.2.5.2

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 18.2.5.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 18.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 18.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2$

Этап 18.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16$

Этап 18.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 18.2.8

$c$

Этап 18.2.9

НОК $c, 16$ представляет собой произведение числовой части $16$ и переменной части.

$16 c$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ умножим на $16 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ на $16 c$ .

$\frac{0.06760023}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \frac{0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.2.2

Умножим $16 \frac{0.06760023}{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.2.1

Объединим $16$ и $\frac{0.06760023}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.2.2.2

Умножим $16$ на $0.06760023$ .

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 c$ .

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Этап 18.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Этап 18.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$1.08160376 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Этап 18.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1.08160376 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Этап 18.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $c$ из $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Вынесем множитель $c$ из $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Этап 18.4.2.2

Вынесем множитель $c$ из $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 1.08160376$

Этап 18.4.2.3

Вынесем множитель $c$ из $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$

Этап 18.4.3

Разделим каждый член $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ на $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.1

Разделим каждый член $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ на $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 18.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 18.4.3.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Этап 18.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.3.1

Умножим $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Этап 18.4.3.3.2

Умножим $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Этап 18.4.3.3.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 18.4.3.3.4

Упростим.

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Этап 18.4.3.3.5

Умножим $1.08160376$ на $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{4.17899603}{4}$

Этап 18.4.3.3.6

Разделим $4.17899603$ на $4$ .

$c = 1.044749$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 15$

$B = 18.87616421$

$C = 146.12383578$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 8.61450925$

Комбинация второго треугольника:

$A = 15$

$B = 161.12383578$

$C = 3.87616421$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 1.044749$