Тригонометрия Примеры

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $1.8$ на $3.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1.4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

Этап 2.2.2

Добавим $6.84$ и $2.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $1.8$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

Этап 3.2.3

Добавим $3.24$ и $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3.8$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1.4$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

Этап 4.2.3

Добавим $14.44$ и $1.96$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

Этап 6.1.2

Умножим $7.24$ на $16.4$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

Этап 6.2

Умножим $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ на $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

Этап 6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ на $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

Этап 6.3.2

Возведем $\sqrt{118.736}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

Этап 6.3.3

Возведем $\sqrt{118.736}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

Этап 6.3.6

Перепишем ${\sqrt{118.736}}^{2}$ в виде $118.736$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{118.736}$ в виде ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

Этап 6.3.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

Этап 6.4

Умножим $9.64$ на $\sqrt{118.736}$ .

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

Этап 6.5

Разделим $105.04327196$ на $118.736$ .

$θ = \arccos (0.88467922)$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (0.88467922)$ .

$θ = 27.78792807$