Тригонометрия Примеры

$y^{2} - x^{2} = \frac{9}{25}$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $\frac{9}{25}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{y^{2}}{\frac{9}{25}} - \frac{x^{2}}{\frac{9}{25}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{9}{25}}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{\frac{9}{25}} - \frac{x^{2}}{\frac{9}{25}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{3}{5}$

$b = \frac{3}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{3}{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{5^{2}} + {(\frac{3}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{5^{2}} + {(\frac{3}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + {(\frac{3}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{3^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{9}{5^{2}}}$

Этап 5.3.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{9}{25}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 + 9}{25}}$

Этап 5.3.8

Добавим $9$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{18}{25}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{18}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{3}{5})$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \frac{3}{5})$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, \frac{3}{5}), (0, - \frac{3}{5})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{3 \sqrt{2}}{5})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \frac{3 \sqrt{2}}{5})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, \frac{3 \sqrt{2}}{5}), (0, - \frac{3 \sqrt{2}}{5})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{3}{5})}^{2}}}{\frac{3}{5}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{3}{5})}^{2}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{5^{2}} + {(\frac{3}{5})}^{2}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{5^{2}} + {(\frac{3}{5})}^{2}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + {(\frac{3}{5})}^{2}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{3^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{9}{5^{2}}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{9}{25}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 + 9}{25}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.9

Добавим $9$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{18}{25}} \frac{5}{3}$

Этап 8.3.10

Перепишем $\sqrt{\frac{18}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.11.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.13

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2})}{5} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.13.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5}{3}$

Этап 8.3.13.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{5} \cdot 5$

Этап 8.3.13.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{5} \cdot 5$

Этап 8.3.13.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{3}{5^{2}}}{3 \sqrt{2}}}{5}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{3}{5^{2}}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{3}{5^{2}} \cdot 1}{3 \sqrt{2} \cdot 5}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{3}{25} \cdot 1}{3 \sqrt{2} \cdot 5}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{3}{25}$ на $1$ .

$\frac{\frac{3}{25}}{3 \sqrt{2} \cdot 5}$

Этап 9.3.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{\frac{3}{25}}{15 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{25} \cdot \frac{1}{15 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sqrt{2}$ .

$\frac{3}{25} \cdot \frac{1}{3 (5 \sqrt{2})}$

Этап 9.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{25} \cdot \frac{1}{3 (5 \sqrt{2})}$

Этап 9.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{5 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.6

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{25 (5 \sqrt{2})}$

Этап 9.3.7

Умножим $5$ на $25$ .

$\frac{1}{125 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.8

Умножим $\frac{1}{125 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{125 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Умножим $\frac{1}{125 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.9.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 9.3.9.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 9.3.9.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 9.3.9.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{125 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.9.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.9.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.9.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.9.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{125 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.9.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{125 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.9.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{125 \cdot 2^{1}}$

Этап 9.3.9.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{125 \cdot 2}$

Этап 9.3.10

Умножим $125$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{250}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 11

Упростим $1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1 \cdot x$ и $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 11.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим $- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- 1 \cdot x$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 12.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(0, \frac{3}{5}), (0, - \frac{3}{5})$

Фокусы: $(0, \frac{3 \sqrt{2}}{5}), (0, - \frac{3 \sqrt{2}}{5})$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{2}}{250}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x$

Этап 15