Тригонометрия Примеры

$\cos (105) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1

Точное значение $\cos (105)$ : $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (75) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cos (30 + 45) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Этап 2.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \sin (45)$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \sin (45)$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \sin (45)$

Этап 2.4

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.6

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 3