Тригонометрия Примеры

$h (x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x^{2} + x}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x - 2}{x^{2} + x}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x - 2}{x^{2} + x} < 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 2 = 0$

$x^{2} + x = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 4.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2$

$x = 0, - 1$

Этап 4.9

Объединим решения.

$x = 2, 0, - 1$

Этап 4.10

Найдем область определения $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{x^{2} + x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + x = 0$

Этап 4.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 4.10.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 4.10.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 4.10.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 4.10.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.10.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.10.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.10.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.10.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 4.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 4.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 2}{{(- 4)}^{2} - 4} < 0$

Этап 4.12.1.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.12.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 4.12.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 0.5) - 2}{{(- 0.5)}^{2} - 0.5} < 0$

Этап 4.12.2.3

Левая часть $10$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 4.12.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{(1) - 2}{{(1)}^{2} + 1} < 0$

Этап 4.12.3.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.12.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) - 2}{{(4)}^{2} + 4} < 0$

Этап 4.12.4.3

Левая часть $0.1$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 4.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $0 < x < 2$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 1, 0 \leq x < 2$

$(- \infty, - 1] \cup [0, 2)$

Этап 6