Тригонометрия Примеры

$\frac{- 3 \sin (x) + 4 \cos (x)}{5 \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{- 3 \sin (x) + 4 \cos (x)}{5 \cos (x) + 2 \sin (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Разделим дроби.

$5 + \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$5 + \frac{2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Разделим $2$ на $1$ .

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Разделим дроби.

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$5 + 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$5 + 2 \tan (x) = 0$

Этап 2.10

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (x) = - 5$

Этап 2.11

Разделим каждый член $2 \tan (x) = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Разделим каждый член $2 \tan (x) = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.11.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{5}{2}$

Этап 2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{5}{2})$

Этап 2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{5}{2})$ .

$x = - 1.19028994$

Этап 2.14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.19028994 - (3.14159265)$

Этап 2.15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $2 π$ к $- 1.19028994 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19028994 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 2.15.2

Результирующий угол $1.9513027$ является положительным и отличается от $- 1.19028994 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.9513027$

Этап 2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.17

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Добавим $π$ к $- 1.19028994$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.19028994 + π$

Этап 2.17.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.19028994$

Этап 2.17.3

Вычтем $1.19028994$ из $3.14159265$ .

$1.9513027$

Этап 2.17.4

Перечислим новые углы.

$x = 1.9513027$

Этап 2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.9513027 + π n, 1.9513027 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 1.9513027 + π n, x = 1.9513027 + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4