Тригонометрия Примеры

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$u = 0$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{64 - u^{2}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$64 - u^{2} < 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $64$ из обеих частей неравенства.

$- u^{2} < - 64$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- u^{2} < - 64$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- u^{2} < - 64$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- u^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{u^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $- 64$ на $- 1$ .

$u^{2} > 64$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{u^{2}} > \sqrt{64}$

Этап 3.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| u | > \sqrt{64}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $\sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| u | > \sqrt{8^{2}}$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| u | > | 8 |$

Этап 3.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$| u | > 8$

Этап 3.5

Запишем $| u | > 8$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$u \geq 0$

Этап 3.5.2

В части, где $u$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$u > 8$

Этап 3.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$u < 0$

Этап 3.5.4

В части, где $u$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- u > 8$

Этап 3.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} u > 8 & u \geq 0 \\ - u > 8 & u < 0 \end{cases}$

Этап 3.6

Найдем пересечение $u > 8$ и $u \geq 0$ .

$u > 8$

Этап 3.7

Разделим каждый член $- u > 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- u > 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- u}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{u}{1} < \frac{8}{- 1}$

Этап 3.7.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u < \frac{8}{- 1}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Разделим $8$ на $- 1$ .

$u < - 8$

Этап 3.8

Найдем объединение решений.

$u < - 8$ или $u > 8$

Этап 4

Зададим аргумент в $\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}) = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $u$ from inside the arccotangent.

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 8$ и $b = u$ .

$\frac{\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.3

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$\cot (\frac{π}{2} + π n) \cdot (u) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $\cot (\frac{π}{2} + π n) u$ .

$u \cot (\frac{π}{2} + π n) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Этап 5.4

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ .

$\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(8 + u) (8 - u)}$ в виде ${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((8 + u) (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.2

Развернем $(8 + u) (8 - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(8 (8 - u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.3.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

${(64 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

${(64 - 8 u + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.1.3

Перенесем $8$ влево от $u$ .

${(64 - 8 u + 8 \cdot u + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(64 - 8 u + 8 u - u \cdot u)}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.1.5

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.3.1.5.1

Перенесем $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - (u \cdot u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.1.5.2

Умножим $u$ на $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.2

Добавим $- 8 u$ и $8 u$ .

${(64 + 0 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.3.3

Добавим $64$ и $0$ .

${(64 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.2.1.4

Упростим.

$64 - u^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Применим правило умножения к $u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ .

$64 - u^{2} = u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.7

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Вычтем $u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ из обеих частей уравнения.

$64 - u^{2} - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Этап 5.7.1.2

Вынесем множитель $- u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$64 - u^{2} (1) - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Этап 5.7.1.3

Вынесем множитель $- u^{2}$ из $- u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

$64 - u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Этап 5.7.1.4

Вынесем множитель $- u^{2}$ из $- u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n))$ .

$64 - u^{2} (1 + \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Этап 5.7.1.5

Применим формулу Пифагора.

$64 - u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$

Этап 5.7.3

Разделим каждый член $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ на $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Разделим каждый член $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ на $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

$\frac{- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.3.2.2

Сократим общий множитель $\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.3.2.2.2

Разделим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$u^{2} = \frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Этап 5.7.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Этап 5.7.5.2

Перепишем $\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$ в виде ${(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}}$

Этап 5.7.5.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \pm \frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.5.4

Разделим дроби.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Этап 5.7.5.5

Выразим $\csc (\frac{π}{2} + π n)$ через синусы и косинусы.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}}$

Этап 5.7.5.6

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}$ .

$u = \pm \frac{8}{1} (1 \sin (\frac{π}{2} + π n))$

Этап 5.7.5.7

Умножим $\sin (\frac{π}{2} + π n)$ на $1$ .

$u = \pm \frac{8}{1} \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.7.5.8

Разделим $8$ на $1$ .

$u = \pm 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.7.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.7.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 5.7.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${u | u < - 8, u > 8, u = 0, u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n), u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 7