Тригонометрия Примеры

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (x)}$ в виде ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$\sin (x) = 0^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.3.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.3.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.3.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.3.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.3.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.3.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Проверим каждое решение, подставив его в $\sqrt{\sin (x)} = 0$ и решив.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\sin (x)}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sin (x) < 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x < \arcsin (0)$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x < 0$

Этап 4.3

$x = π - 0$

Этап 4.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Этап 4.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.9.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) < 0$

Этап 4.9.1.3

Левая часть $0.90929742$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.9.2

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 4.9.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) < 0$

Этап 4.9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < π$ Ложь

$π < x < 2 π$ Истина

$0 < x < π$ Ложь

$π < x < 2 π$ Истина

Этап 4.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 6