Тригонометрия Примеры

$\log (3 x) = \log (5) + \log (x - 4)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\log (5)$ из обеих частей уравнения.

$\log (3 x) - \log (5) = \log (x - 4)$

Этап 1.2

Вычтем $\log (x - 4)$ из обеих частей уравнения.

$\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4) = 0$

Этап 2

Упростим $\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{3 x}{5}) - \log (x - 4) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{3 x}{5}}{x - 4}) = 0$

Этап 2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (\frac{3 x}{5} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 0$

Этап 2.4

Умножим $\frac{3 x}{5}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)}) = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 (x - 4) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $5 (x - 4) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $5 (x - 4) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{3 x}{5 (x - 4)} \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 6.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4$

Этап 6.5

Объединим решения.

$x = 0, 4$

Этап 6.6

Найдем область определения $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 (x - 4) = 0$

Этап 6.6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Разделим каждый член $5 (x - 4) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1

Разделим каждый член $5 (x - 4) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.6.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.6.2.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Этап 6.6.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.6.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 6.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 2)}{5 ((- 2) - 4)} \leq 0$

Этап 6.8.1.3

Левая часть $0.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (2)}{5 ((2) - 4)} \leq 0$

Этап 6.8.2.3

Левая часть $- 0.6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (6)}{5 ((6) - 4)} \leq 0$

Этап 6.8.3.3

Левая часть $1.8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 6.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x < 4$

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$0 \leq x \leq 4$

$[0, 4]$

Этап 8