Тригонометрия Примеры

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

Этап 2

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ , а сумма — $b = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $23$ из $23 r$ .

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

Этап 2.1.1.2

Запишем $23$ как $- 2$ плюс $25$

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 r - 2$ .

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $5 r - 2$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $5 r - 2$ к $0$ .

$5 r - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $5 r - 2 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 r = 2$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $5 r = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 r = 2$ на $5$ .

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{2}{5}$

Этап 2.4

Приравняем $r + 5$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $r + 5$ к $0$ .

$r + 5 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$r = - 5$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ верно.

$r = \frac{2}{5}, - 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

Этап 4

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ , а сумма — $b = 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $43$ из $43 r$ .

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

Этап 4.1.1.2

Запишем $43$ как $- 2$ плюс $45$

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

Этап 4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

Этап 4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

Этап 4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 r - 2$ .

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $9 r - 2$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $9 r - 2$ к $0$ .

$9 r - 2 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $9 r - 2 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$9 r = 2$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $9 r = 2$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $9 r = 2$ на $9$ .

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{2}{9}$

Этап 4.4

Приравняем $r + 5$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $r + 5$ к $0$ .

$r + 5 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$r = - 5$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ верно.

$r = \frac{2}{9}, - 5$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

Этап 6

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 45$ , $b = - 23$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 23$ в степень $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 180$ на $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $720$ из $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $- 23$ в степень $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 180$ на $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.3

Вычтем $720$ из $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Этап 6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $- 23$ в степень $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим $- 180$ на $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.3

Вычтем $720$ из $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Этап 6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

Этап 8