Тригонометрия Примеры

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Этап 1

Вычтем $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2

Упростим $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cot (x)$ и $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\cot (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.3

Объединим $\cot (2 x)$ и $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $2$ влево от $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.4

Развернем $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.1

Умножим $- \cot (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.1.1

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.1.2

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.2

Умножим $- \cot (x) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.2.2

Умножим $\cot (x)$ на $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.3

Перепишем $- 1 \cot (x)$ в виде $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.2

Вычтем $\cot (x)$ из $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 2.5.5.3

Добавим $- \cot^{2} (x)$ и $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \cot (x) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 \cot (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $2 \cot (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $\cot (x)$ на $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 4.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 4.5

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 4.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 4.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 4.5.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Зададим аргумент в $\cot (2 x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Разделим каждый член $2 x = π n$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 x = π n$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Этап 7

Зададим аргумент в $\cot (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 9