Тригонометрия Примеры

$\log (4 p - 2) = \log (- 5 p + 5)$

Этап 1

Вычтем $\log (- 5 p + 5)$ из обеих частей уравнения.

$\log (4 p - 2) - \log (- 5 p + 5) = 0$

Этап 2

Упростим $\log (4 p - 2) - \log (- 5 p + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4 p - 2}{- 5 p + 5}) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $4 p - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 p$ .

$\log (\frac{2 (2 p) - 2}{- 5 p + 5}) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\log (\frac{2 (2 p) + 2 (- 1)}{- 5 p + 5}) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 p) + 2 (- 1)$ .

$\log (\frac{2 (2 p - 1)}{- 5 p + 5}) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5 p + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 p$ .

$\log (\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p) + 5}) = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\log (\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p) + 5 (1)}) = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- p) + 5 (1)$ .

$\log (\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)}) = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 (- p + 1) = 0$

Этап 4

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $5 (- p + 1) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $5 (- p + 1) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (- p + 1)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- p + 1)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $- p + 1$ на $1$ .

$- p + 1 = \frac{0}{5}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$- p + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- p = - 1$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- p}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{p}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$p = 1$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log (\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)} \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 p - 1 = 0$

$- p + 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 p = 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 p = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 p = 1$ на $2$ .

$\frac{2 p}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 p}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{1}{2}$

Этап 6.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- p = - 1$

Этап 6.5

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- p}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{p}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$p = 1$

Этап 6.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$p = \frac{1}{2}$

$p = 1$

Этап 6.7

Объединим решения.

$p = \frac{1}{2}, 1$

Этап 6.8

Найдем область определения $\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (2 p - 1)}{5 (- p + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 (- p + 1) = 0$

Этап 6.8.2

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Разделим каждый член $5 (- p + 1) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Разделим каждый член $5 (- p + 1) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (- p + 1)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.8.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- p + 1)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.8.2.1.2.1.2

Разделим $- p + 1$ на $1$ .

$- p + 1 = \frac{0}{5}$

Этап 6.8.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$- p + 1 = 0$

Этап 6.8.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- p = - 1$

Этап 6.8.2.3

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.1

Разделим каждый член $- p = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- p}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.8.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{p}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.8.2.3.2.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.8.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$p = 1$

Этап 6.8.3

Область определения ― это все значения $p$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$p < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < p < 1$

$p > 1$

Этап 6.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Проверим значение на интервале $p < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Выберем значение на интервале $p < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 0$

Этап 6.10.1.2

Заменим $p$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2 (0) - 1)}{5 (- (0) + 1)} \leq 0$

Этап 6.10.1.3

Левая часть $- 0.4$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < p < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < p < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 0.75$

Этап 6.10.2.2

Заменим $p$ на $0.75$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2 (0.75) - 1)}{5 (- (0.75) + 1)} \leq 0$

Этап 6.10.2.3

Левая часть $0.8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.10.3

Проверим значение на интервале $p > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Выберем значение на интервале $p > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$p = 4$

Этап 6.10.3.2

Заменим $p$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2 (4) - 1)}{5 (- (4) + 1)} \leq 0$

Этап 6.10.3.3

Левая часть $- 0.9\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$p < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < p < 1$ Ложь

$p > 1$ Истина

$p < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < p < 1$ Ложь

$p > 1$ Истина

Этап 6.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$p \leq \frac{1}{2}$ или $p > 1$

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$p \leq \frac{1}{2}, p \geq 1$

$(- \infty, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Этап 8