Тригонометрия Примеры

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) + \ln (x + 2) - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\ln (x) + \ln (x + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) - 2 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) - 2 = 0$

Этап 2.2.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) - 2 = 0$

Этап 3

Зададим аргумент в $\ln (x^{2} + 2 x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x \leq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 2 x = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 4.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 4.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} + 2 (- 4) \leq 0$

Этап 4.8.1.3

Левая часть $8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 4.8.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

${(- 1)}^{2} + 2 (- 1) \leq 0$

Этап 4.8.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} + 2 (2) \leq 0$

Этап 4.8.3.3

Левая часть $8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 4.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq 0$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$- 2 \leq x \leq 0$

$[- 2, 0]$

Этап 6