Тригонометрия Примеры

$2 \log (x) = \log (x^{2} + 2 x - 5)$

Этап 1

Вычтем $\log (x^{2} + 2 x - 5)$ из обеих частей уравнения.

$2 \log (x) - \log (x^{2} + 2 x - 5) = 0$

Этап 2

Упростим $2 \log (x) - \log (x^{2} + 2 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) - \log (x^{2} + 2 x - 5) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}) = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 4.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 4.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log (\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5} \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Этап 6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Этап 6.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.8.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.11

Объединим решения.

$x = 0, - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.12

Найдем область определения $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Этап 6.12.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.12.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.12.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.12.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.12.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.12.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Этап 6.12.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.3

Добавим $4$ и $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.12.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Этап 6.12.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Этап 6.12.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.12.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Этап 6.12.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{6}) \cup (- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}) \cup (- 1 + \sqrt{6}, \infty)$

Этап 6.13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1 - \sqrt{6}$

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$

$x > - 1 + \sqrt{6}$

Этап 6.14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.1

Проверим значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.14.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 5} \leq 0$

Этап 6.14.1.3

Левая часть $1.89473684$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.14.2

Проверим значение на интервале $- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.14.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 5} \leq 0$

Этап 6.14.2.3

Левая часть $- 0.8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.14.3

Проверим значение на интервале $0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 6.14.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 5} \leq 0$

Этап 6.14.3.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.14.4

Проверим значение на интервале $x > - 1 + \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.4.1

Выберем значение на интервале $x > - 1 + \sqrt{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.14.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 5} \leq 0$

Этап 6.14.4.3

Левая часть $0.84210526$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.14.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1 - \sqrt{6}$ Ложь

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ Истина

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ Истина

$x > - 1 + \sqrt{6}$ Ложь

$x < - 1 - \sqrt{6}$ Ложь

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ Истина

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ Истина

$x > - 1 + \sqrt{6}$ Ложь

Этап 6.15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 - \sqrt{6} < x \leq 0$ или $0 \leq x < - 1 + \sqrt{6}$

Этап 6.16

Объединим интервалы.

$- 1 - \sqrt{6} < x < - 1 + \sqrt{6}$

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$- 1 - \sqrt{6} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6}$

$[- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}]$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 - \sqrt{6} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6} [- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}]$

Интервальное представление:

$[- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6})$

Этап 9