Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ на $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ на $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.4

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.6

Умножим $- \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.6.2

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - {\cos (2 x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Этап 5.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos^{2} (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$