Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} = - \tan (x) \sin (x)$

Этап 1

Добавим $\tan (x) \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x) = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) = 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 2.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 2.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Этап 2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x - 1)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (x - 1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\cos^{2} (x - 1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\cos (x) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 6