Тригонометрия Примеры

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} = \cos^{4} (w)$

Этап 1

Вычтем $\cos^{4} (w)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Выразим $\cot (w)$ через синусы и косинусы.

$\frac{- 1 + {(\frac{\cos (w)}{\sin (w)})}^{2} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\cos (w)}{\sin (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.3

Выразим $\tan (w)$ через синусы и косинусы.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) {(\frac{\sin (w)}{\cos (w)})}^{2}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (w)}{\cos (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $\cos^{2} (w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \sin^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.6

Перенесем $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.8

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.10

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (w))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.11

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.12

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.12.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $- \cos^{2} (w)$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.12.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.12.3

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.13

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.14

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.15

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.16

Изменим порядок $- 1^{2}$ и ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) ({(\frac{1}{\sin (w)})}^{2} - 1^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.1.17

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{\sin (w)}$ и $b = 1$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Выразим $\csc (w)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{{(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(\cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.5

Объединим $\cos^{2} (w)$ и $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\cos^{2} (w)$ на $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.7

Развернем $(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} (\frac{1}{\sin (w)} - 1) + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Объединим.

$(\frac{\cos^{2} (w) \cdot 1}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Умножим $\cos^{2} (w)$ на $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.3.1

Возведем $\sin (w)$ в степень $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.3.2

Возведем $\sin (w)$ в степень $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin^{1} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{{\sin (w)}^{1 + 1}} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.4

Объединим $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ и $- 1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{- 1 \cdot \cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.7

Объединим $\cos^{2} (w)$ и $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.8

Перенесем $- 1$ влево от $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - 1 \cdot \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.1.9

Перепишем $- 1 \cos^{2} (w)$ в виде $- \cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.2

Добавим $- \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ и $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + 0 - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.8.3

Добавим $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ и $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.10

Сократим общий множитель $\sin^{2} (w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.10.2

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.11

Умножим на $1$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $- \cos^{2} (w) \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.13

Вынесем множитель $\cos^{2} (w)$ из $\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w))$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.14

Перепишем $- 1 \sin^{2} (w)$ в виде $- \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.15

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (w) \cdot \cos^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.16

Умножим $\cos^{2} (w)$ на $\cos^{2} (w)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (w)}^{2 + 2} - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.1.16.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\cos^{4} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\cos^{4} (w)$ из $\cos^{4} (w)$ .

$0 = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.