Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) = \cos (2 \cdot 45)$

Этап 1

Вычтем $\cos (2 \cdot 45)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2

Упростим $\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Точное значение $\cos (112.5)$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Представим $112.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ в виде ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.5.5

Упростим.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Этап 2.1.7

Умножим $2$ на $45$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (90) = 0$

Этап 2.1.8

Точное значение $\cos (90)$ : $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - 0 = 0$

Этап 2.1.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) + 0 = 0$

Этап 2.2

Добавим $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ и $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.