Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 9 (u) + 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 9$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4$ из $81$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Этап 6

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 0.11204654$

Этап 8.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.11204654 - (3.14159265)$

Этап 8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $2 π$ к $- 0.11204654 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.11204654 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 8.4.2

Результирующий угол $3.0295461$ является положительным и отличается от $- 0.11204654 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 3.0295461$

Этап 8.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $π$ к $- 0.11204654$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.11204654 + π$

Этап 8.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.11204654$

Этап 8.6.3

Вычтем $0.11204654$ из $3.14159265$ .

$3.0295461$

Этап 8.6.4

Перечислим новые углы.

$x = 3.0295461$

Этап 8.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 1.45874978$

Этап 9.3

$x = - 1.45874978 - (3.14159265)$

Этап 9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Добавим $2 π$ к $- 1.45874978 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.45874978 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 9.4.2

Результирующий угол $1.68284287$ является положительным и отличается от $- 1.45874978 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.68284287$

Этап 9.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $π$ к $- 1.45874978$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.45874978 + π$

Этап 9.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.45874978$

Этап 9.6.3

Вычтем $1.45874978$ из $3.14159265$ .

$1.68284287$

Этап 9.6.4

Перечислим новые углы.

$x = 1.68284287$

Этап 9.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $3.0295461 + π n$ и $3.0295461 + π n$ в $3.0295461 + π n$ .

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $1.68284287 + π n$ и $1.68284287 + π n$ в $1.68284287 + π n$ .

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n$ , для любого целого $n$