Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{\csc (x)} = (\tan (x)) (\cot (x))$

Этап 1

Умножим обе части на $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\csc (x)} \csc (x) = \tan (x) \cot (x) \csc (x)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\csc (x)} \csc (x) = \tan (x) \cot (x) \csc (x)$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \tan (x) \cot (x) \csc (x)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\tan (x) \cot (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Изменим порядок $\tan (x)$ и $\cot (x)$ .

$\sin (x) = \cot (x) \tan (x) \csc (x)$

Этап 2.2.1.1.2

Выразим $\tan (x) \cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc (x)$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) = 1 \csc (x)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \csc (x)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $\sin (x) = \csc (x)$ на $\csc (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $\sin (x) = \csc (x)$ на $\csc (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\csc (x)} = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) \sin (x) = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сократим общий множитель $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \frac{\csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = 1$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = 1$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = 1, - 1$

Этап 3.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 3.6.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 3.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 3.7.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 3.7.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.7.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 3.7.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$