Тригонометрия Примеры

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\sec^{4} (x)$ в виде ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $\tan^{4} (x)$ в виде ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2} = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sec^{2} (x)$ и $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.3

Применим формулу Пифагора.

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) \cdot 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4

Умножим $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 2

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 3

Добавим $\tan^{2} (x)$ и $\tan^{2} (x)$ .

$1 + 2 \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$2 \tan^{2} (x) + 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Этап 5

Перенесем все члены с $\tan (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 \tan^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x) = 1$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 \tan^{2} (x)$ из $2 \tan^{2} (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Этап 5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 = 1$

Этап 6

Поскольку $1 = 1$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$