Тригонометрия Примеры

$\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}) = 2$

Этап 1.2

Умножим $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ на $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}} \cdot \frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}) = 2$

Этап 1.3

Умножим $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ на $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{(13 + \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})}) = 2$

Этап 1.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{169 - 13 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 13 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Этап 1.5

Упростим.

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$8^{2} = \frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 8^{2} (- x + 169)$

Этап 4

Упростим $8^{2} (- x + 169)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x + 169)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x) + 64 \cdot 169$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 64 \cdot 169$

Этап 4.3.2

Умножим $64$ на $169$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 10816$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $64 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x (13 - \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot 13 + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Этап 5.2.2

Умножим $13$ на $5$ .

$65 x + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$65 x - 5 x \sqrt{x} + 64 x = 10816$

Этап 5.3

Добавим $65 x$ и $64 x$ .

$- 5 x \sqrt{x} + 129 x = 10816$

Этап 6

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x \sqrt{x} + 129 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x \sqrt{x}$ .

$x (- 5 \sqrt{x}) + 129 x = 10816$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x$ из $129 x$ .

$x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129 = 10816$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129$ .

$x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$

Этап 7

Решим относительно $- 5 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ на $x$ .

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Этап 7.1.2.1.2

Разделим $- 5 \sqrt{x} + 129$ на $1$ .

$- 5 \sqrt{x} + 129 = \frac{10816}{x}$

Этап 7.2

Вычтем $129$ из обеих частей уравнения.

$- 5 \sqrt{x} = \frac{10816}{x} - 129$

Этап 8

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило умножения к $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{1} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.2.1.4

Упростим.

$25 x = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Перепишем ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ в виде $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ .

$25 x = (\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$

Этап 9.3.1.2

Развернем $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{10816}{x} (\frac{10816}{x} - 129) - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Этап 9.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Этап 9.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.3.1.1

Умножим $\frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.3.1.1.1

Умножим $\frac{10816}{x}$ на $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{10816 \cdot 10816}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.1.2

Умножим $10816$ на $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x^{1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 x = \frac{116985856}{x^{1 + 1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.2

Умножим $\frac{10816}{x} \cdot - 129$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.3.1.2.1

Объединим $\frac{10816}{x}$ и $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816 \cdot - 129}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.2.2

Умножим $10816$ на $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.4

Умножим $- 129 \frac{10816}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.3.1.4.1

Объединим $- 129$ и $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 129 \cdot 10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.4.2

Умножим $- 129$ на $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Этап 9.3.1.3.1.6

Умножим $- 129$ на $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} + 16641$

Этап 9.3.1.3.2

Вычтем $\frac{1395264}{x}$ из $- \frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - 2 \frac{1395264}{x} + 16641$

Этап 9.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Умножим $- 2 \frac{1395264}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2 \cdot 1395264}{x} + 16641$

Этап 9.3.1.4.1.2

Умножим $- 2$ на $1395264$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2790528}{x} + 16641$

Этап 9.3.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, x, 1$

Этап 10.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Этап 10.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 10.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 10.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 10.1.6

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 10.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 10.1.8

НОК $x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 10.1.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 10.2

Каждый член в $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим каждый член $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ на $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 x^{2 + 1} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{3} = 116985856 - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2790528}{x}$ в числитель.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Этап 10.2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$25 x^{3} = 116985856 - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Этап 10.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вычтем $116985856$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{3} - 116985856 = - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Этап 10.3.1.2

Добавим $2790528 x$ к обеим частям уравнения.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x = 16641 x^{2}$

Этап 10.3.1.3

Вычтем $16641 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x - 16641 x^{2} = 0$

Этап 10.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Изменим порядок членов.

$25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856 = 0$

Этап 10.3.2.2

Разложим $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 116985856, \pm 2, \pm 58492928, \pm 4, \pm 29246464, \pm 8, \pm 14623232, \pm 13, \pm 8998912, \pm 16, \pm 7311616, \pm 26, \pm 4499456, \pm 32, \pm 3655808, \pm 52, \pm 2249728, \pm 64, \pm 1827904, \pm 104, \pm 1124864, \pm 128, \pm 913952, \pm 169, \pm 692224, \pm 208, \pm 562432, \pm 256, \pm 456976, \pm 338, \pm 346112, \pm 416, \pm 281216, \pm 512, \pm 228488, \pm 676, \pm 173056, \pm 832, \pm 140608, \pm 1024, \pm 114244, \pm 1352, \pm 86528, \pm 1664, \pm 70304, \pm 2048, \pm 57122, \pm 2197, \pm 53248, \pm 2704, \pm 43264, \pm 3328, \pm 35152, \pm 4096, \pm 28561, \pm 4394, \pm 26624, \pm 5408, \pm 21632, \pm 6656, \pm 17576, \pm 8788, \pm 13312, \pm 10816$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Этап 10.3.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 116985856, \pm 4679434.24, \pm 23397171.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 58492928, \pm 2339717.12, \pm 11698585.6, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 29246464, \pm 1169858.56, \pm 5849292.8, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6, \pm 14623232, \pm 584929.28, \pm 2924646.4, \pm 13, \pm 0.52, \pm 2.6, \pm 8998912, \pm 359956.48, \pm 1799782.4, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 7311616, \pm 292464.64, \pm 1462323.2, \pm 26, \pm 1.04, \pm 5.2, \pm 4499456, \pm 179978.24, \pm 899891.2, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 3655808, \pm 146232.32, \pm 731161.6, \pm 52, \pm 2.08, \pm 10.4, \pm 2249728, \pm 89989.12, \pm 449945.6, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 1827904, \pm 73116.16, \pm 365580.8, \pm 104, \pm 4.16, \pm 20.8, \pm 1124864, \pm 44994.56, \pm 224972.8, \pm 128, \pm 5.12, \pm 25.6, \pm 913952, \pm 36558.08, \pm 182790.4, \pm 169, \pm 6.76, \pm 33.8, \pm 692224, \pm 27688.96, \pm 138444.8, \pm 208, \pm 8.32, \pm 41.6, \pm 562432, \pm 22497.28, \pm 112486.4, \pm 256, \pm 10.24, \pm 51.2, \pm 456976, \pm 18279.04, \pm 91395.2, \pm 338, \pm 13.52, \pm 67.6, \pm 346112, \pm 13844.48, \pm 69222.4, \pm 416, \pm 16.64, \pm 83.2, \pm 281216, \pm 11248.64, \pm 56243.2, \pm 512, \pm 20.48, \pm 102.4, \pm 228488, \pm 9139.52, \pm 45697.6, \pm 676, \pm 27.04, \pm 135.2, \pm 173056, \pm 6922.24, \pm 34611.2, \pm 832, \pm 33.28, \pm 166.4, \pm 140608, \pm 5624.32, \pm 28121.6, \pm 1024, \pm 40.96, \pm 204.8, \pm 114244, \pm 4569.76, \pm 22848.8, \pm 1352, \pm 54.08, \pm 270.4, \pm 86528, \pm 3461.12, \pm 17305.6, \pm 1664, \pm 66.56, \pm 332.8, \pm 70304, \pm 2812.16, \pm 14060.8, \pm 2048, \pm 81.92, \pm 409.6, \pm 57122, \pm 2284.88, \pm 11424.4, \pm 2197, \pm 87.88, \pm 439.4, \pm 53248, \pm 2129.92, \pm 10649.6, \pm 2704, \pm 108.16, \pm 540.8, \pm 43264, \pm 1730.56, \pm 8652.8, \pm 3328, \pm 133.12, \pm 665.6, \pm 35152, \pm 1406.08, \pm 7030.4, \pm 4096, \pm 163.84, \pm 819.2, \pm 28561, \pm 1142.44, \pm 5712.2, \pm 4394, \pm 175.76, \pm 878.8, \pm 26624, \pm 1064.96, \pm 5324.8, \pm 5408, \pm 216.32, \pm 1081.6, \pm 21632, \pm 865.28, \pm 4326.4, \pm 6656, \pm 266.24, \pm 1331.2, \pm 17576, \pm 703.04, \pm 3515.2, \pm 8788, \pm 351.52, \pm 1757.6, \pm 13312, \pm 532.48, \pm 2662.4, \pm 10816, \pm 432.64, \pm 2163.2$

Этап 10.3.2.2.3

Подставим $64$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $64$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.3.1

Подставим $64$ в многочлен.

$25 \cdot 64^{3} - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.2

Возведем $64$ в степень $3$ .

$25 \cdot 262144 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.3

Умножим $25$ на $262144$ .

$6553600 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.4

Возведем $64$ в степень $2$ .

$6553600 - 16641 \cdot 4096 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.5

Умножим $- 16641$ на $4096$ .

$6553600 - 68161536 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.6

Вычтем $68161536$ из $6553600$ .

$- 61607936 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.7

Умножим $2790528$ на $64$ .

$- 61607936 + 178593792 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.8

Добавим $- 61607936$ и $178593792$ .

$116985856 - 116985856$

Этап 10.3.2.2.3.9

Вычтем $116985856$ из $116985856$ .

$0$

Этап 10.3.2.2.4

Поскольку $64$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 64$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856}{x - 64}$

Этап 10.3.2.2.5

Разделим $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ на $x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$64$

$25 x^{3}$

$16641 x^{2}$

$2790528 x$

$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			+	$25 x^{3}$	-	$1600 x^{2}$

Этап 10.3.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 x^{3} - 1600 x^{2}$ .

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$

Этап 10.3.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$

Этап 10.3.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Этап 10.3.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15041 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Этап 10.3.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					-	$15041 x^{2}$	+	$962624 x$

Этап 10.3.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15041 x^{2} + 962624 x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$

Этап 10.3.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$

Этап 10.3.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $1827904 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $1827904 x - 116985856$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$

Этап 10.3.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$
										$0$

Этап 10.3.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$25 x^{2} - 15041 x + 1827904$

Этап 10.3.2.2.6

Запишем $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ в виде набора множителей.

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Этап 10.3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 25 \cdot 1827904 = 45697600$ , а сумма — $b = - 15041$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 15041$ из $- 15041 x$ .

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Этап 10.3.2.3.1.1.2

Запишем $- 15041$ как $- 4225$ плюс $- 10816$

$(x - 64) (25 x^{2} + (- 4225 - 10816) x + 1827904) = 0$

Этап 10.3.2.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 64) (25 x^{2} - 4225 x - 10816 x + 1827904) = 0$

Этап 10.3.2.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 64) ((25 x^{2} - 4225 x) - 10816 x + 1827904) = 0$

Этап 10.3.2.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 64) (25 x (x - 169) - 10816 (x - 169)) = 0$

Этап 10.3.2.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 169$ .

$(x - 64) ((x - 169) (25 x - 10816)) = 0$

Этап 10.3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$

Этап 10.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 64 = 0$

$x - 169 = 0$

$25 x - 10816 = 0$

Этап 10.3.4

Приравняем $x - 64$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Приравняем $x - 64$ к $0$ .

$x - 64 = 0$

Этап 10.3.4.2

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$x = 64$

Этап 10.3.5

Приравняем $x - 169$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1

Приравняем $x - 169$ к $0$ .

$x - 169 = 0$

Этап 10.3.5.2

Добавим $169$ к обеим частям уравнения.

$x = 169$

Этап 10.3.6

Приравняем $25 x - 10816$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.1

Приравняем $25 x - 10816$ к $0$ .

$25 x - 10816 = 0$

Этап 10.3.6.2

Решим $25 x - 10816 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.1

Добавим $10816$ к обеим частям уравнения.

$25 x = 10816$

Этап 10.3.6.2.2

Разделим каждый член $25 x = 10816$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.2.1

Разделим каждый член $25 x = 10816$ на $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Этап 10.3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Этап 10.3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10816}{25}$

Этап 10.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$ верно.

$x = 64, 169, \frac{10816}{25}$

Этап 11

Исключим решения, которые не делают $\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$ истинным.

$x = \frac{10816}{25}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{10816}{25}$

Десятичная форма:

$x = 432.64$

Форма смешанных чисел:

$x = 432 \frac{16}{25}$