Тригонометрия Примеры

$3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{2 \sin (x) + 2})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 \sin (x) + 2}$ в виде ${(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$9 (2 \sin (x) + 2) = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (2 \sin (x)) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Умножим $2$ на $9$ .

$18 \sin (x) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $9$ на $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = {(- 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $\sin (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$18 \sin (x) = 1 - 18$

Этап 3.1.2

Вычтем $18$ из $1$ .

$18 \sin (x) = - 17$

Этап 3.2

Разделим каждый член $18 \sin (x) = - 17$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $18 \sin (x) = - 17$ на $18$ .

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 17}{18}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{17}{18}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{17}{18})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{17}{18})$ .

$x = - 1.23590016$

Этап 3.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$

Этап 3.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 3.6.2

Результирующий угол $4.37749282$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 4.37749282$

Этап 3.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $2 π$ к $- 1.23590016$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.23590016 + 2 π$

Этап 3.8.2

Вычтем $1.23590016$ из $2 π$ .

$5.04728513$

Этап 3.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.04728513$

Этап 3.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4.37749282 + 2 π n, 5.04728513 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$ истинным.

Нет решения