Тригонометрия Примеры

$3 \tan (x) \cos (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим круглые скобки.

$3 (\tan (x) \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $3 \tan (x) \cos (x)$ через синусы и косинусы.

$3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 1.1.3

Сократим общие множители.

$3 \sin (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Разделим дроби.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{3}{1} \cdot \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Разделим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$3 \tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 7

Разделим каждый член $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $3$ .

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 10

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Этап 11

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 11.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 12

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + π$

Этап 13.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 13.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 13.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 14

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим ответы.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$