Тригонометрия Примеры

$50 = 25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$ .

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $75$ из обеих частей уравнения.

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = 50 - 75$

Этап 2.2

Вычтем $75$ из $50$ .

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$

Этап 3

Разделим каждый член $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ на $25$ .

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ на $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = \frac{- 25}{25}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $- 25$ на $25$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = - 1$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$\frac{2 π}{7} t = \arcsin (- 1)$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2 π}{7}$ и $t$ .

$\frac{2 π t}{7} = \arcsin (- 1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π t}{7} = - \frac{π}{2}$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $\frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 8.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 8.2.1.1.3

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 8.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 8.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{- 1}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$t = \frac{- 7}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{- 7}{4}$

Этап 8.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{7}{4}$

Этап 9

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 10

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 10.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$\frac{2 π t}{7} = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Упростим $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Упростим $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 10.3.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 10.3.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 10.3.2.2.1.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1.3.1

Умножим $7$ на $3$ .

$t = \frac{21}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{21}{4}$

Этап 11

Найдем период $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{7}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Этап 11.3

$\frac{2 π}{7}$ приблизительно равно $0.8975979$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Этап 11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 11.5.2

Перепишем это выражение.

$7$

Этап 12

Добавим $7$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $7$ к $- \frac{7}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{7}{4} + 7$

Этап 12.2

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$7 \cdot \frac{4}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 12.3

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 \cdot 4 - 7}{4}$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{28 - 7}{4}$

Этап 12.5.2

Вычтем $7$ из $28$ .

$\frac{21}{4}$

Этап 12.6

Перечислим новые углы.

$t = \frac{21}{4}$

Этап 13

Период функции $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ равен $7$ . Поэтому значения повторяются через каждые $7$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{21}{4} + 7 n, \frac{21}{4} + 7 n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим ответы.

$t = \frac{21}{4} + 7 n$ , для любого целого $n$