Тригонометрия Примеры

$- 5 + \csc (x) = (\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 1

Упростим $\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (15) - (2 \sqrt{3})$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 + \csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Перенесем все члены без $\csc (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5$

Этап 2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\csc (x) = \frac{- (15 + 2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) = \frac{- 1 \cdot 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 2.5.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 15}{3}$

Этап 2.5.5

Добавим $- 15$ и $15$ .

$\csc (x) = \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.6

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $0$ .

$\csc (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 9

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$