Тригонометрия Примеры

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $2 \sin^{2} (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.1.4

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.1.7

Избавимся от ненужных скобок.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $- \cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $- \cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.3

Разделим дроби.

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.6

Разделим дроби.

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 5.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 5.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = 0$

Этап 5.2.10

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \tan (x) = 1$

Этап 5.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Этап 5.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 5.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5.2.15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2.15.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.17

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.17.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 5.2.17.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.17.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.17.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.17.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.17.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.2.17.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.17.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) - 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) - 2 \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.5

Разделим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.6

Разделим дроби.

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 6.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0$

Этап 6.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \tan (x) = - 1$

Этап 6.2.11

Разделим каждый член $- 2 \tan (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Разделим каждый член $- 2 \tan (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.11.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Этап 6.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 6.2.15

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Этап 6.2.15.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 6.2.15.3

Добавим $3.14159265$ и $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Этап 6.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $0.4636476 + π n$ и $3.60524026 + π n$ в $0.4636476 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ , для любого целого $n$