Тригонометрия Примеры

$2 \tan^{2} (x) \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$2 (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.3

Объединим $2$ и $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 1.1.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Этап 1.1.6

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2.3

Разделим дроби.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2.5

Разделим $2 (\sin (x))$ на $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1.2.6

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $2 \sin (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $2 \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим на $1$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan^{2} (x)$ из $\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan^{2} (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan^{2} (x)$ к $0$ .

$\tan^{2} (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\tan (x) = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 4.2.6

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 4.2.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 5.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 5.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 5.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 5.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 5.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan^{2} (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$