Тригонометрия Примеры

$20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$ .

$2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x) - \ln (5) = 20$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \ln (x) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) - \ln (5) = 20$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$

Этап 4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x^{2}}{5})} = e^{20}$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{20} = \frac{x^{2}}{5}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$ .

$\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Этап 6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Этап 6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 5 e^{20}$

Этап 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5 e^{20}}$

Этап 6.5

Упростим $\pm \sqrt{5 e^{20}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $5 e^{20}$ в виде ${({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем $e^{20}$ в виде ${(e^{10})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5 {(e^{10})}^{2}}$

Этап 6.5.1.2

Изменим порядок $5$ и ${(e^{10})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(e^{10})}^{2} \cdot 5}$

Этап 6.5.1.3

Перепишем $e^{10}$ в виде ${(e^{5})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5}$

Этап 6.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm {(e^{5})}^{2} \sqrt{5}$

Этап 6.5.3

Перемножим экспоненты в ${(e^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm e^{5 \cdot 2} \sqrt{5}$

Этап 6.5.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$x = \pm e^{10} \sqrt{5}$

Этап 6.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Этап 6.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - e^{10} \sqrt{5}$

Этап 6.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = e^{10} \sqrt{5}, - e^{10} \sqrt{5}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$ истинным.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 49252.67482126 \dots$