Тригонометрия Примеры

$y = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{4})) = - 5 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{4}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\sin (\frac{y}{4})$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{5}) = - 5 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{5}$ в числитель.

$- 5 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Этап 2.3.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{5} = - 5 x$

Этап 2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Этап 2.3.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Этап 2.3.1.3.2

Умножим $\sin (\frac{y}{4})$ на $1$ .

$\sin (\frac{y}{4}) = - 5 x$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\frac{y}{4} = \arcsin (- 5 x)$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 5 x)$

Этап 2.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 5 x)$

Этап 2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 4 \arcsin (- 5 x)$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$ обратной к $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})))$

Этап 4.2.3

Объединим $\sin (\frac{x}{4})$ и $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 (- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{5}$ в числитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 5 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5})$

Этап 4.2.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (5 (- 1) (\frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (5 \cdot (- 1 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{5}))$

Этап 4.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 1 (- \sin (\frac{x}{4})))$

Этап 4.2.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (1 \sin (\frac{x}{4}))$

Этап 4.2.5.2

Умножим $\sin (\frac{x}{4})$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (\sin (\frac{x}{4}))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (4 \arcsin (- 5 x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 5 x)}{4})$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 5 x)}{4})$

Этап 4.3.3.2

Разделим $\arcsin (- 5 x)$ на $1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\arcsin (- 5 x))$

Этап 4.3.4

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x)$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x)$

Этап 4.3.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Этап 4.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Этап 4.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = - 1 \cdot (- x)$

Этап 4.3.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = 1 \cdot x$

Этап 4.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (4 \arcsin (- 5 x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$ — обратная к $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 5 x)$