Тригонометрия Примеры

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Этап 1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\tan (2 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\tan (2 x) \geq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x \geq \arctan (0)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$2 x \geq 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x \geq 0$

Этап 3.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 3.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 3.7

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3.9

Найдем область определения $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Зададим аргумент в $\tan (2 x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.2.3.1.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Этап 3.9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 3.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Этап 3.11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.39$

Этап 3.11.1.2

Заменим $x$ на $0.39$ в исходном неравенстве.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Этап 3.11.1.3

Левая часть $0.98926153$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.11.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.11.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Этап 3.11.2.3

Левая часть $- 2.18503986$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Истина

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{4}$ Истина

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Ложь

Этап 3.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Зададим аргумент в $\tan (2 x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2} + π n$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Этап 5.3.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Диапазон:

Этап 8