Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Угол $\frac{π}{3}$ ― это угол, для которого известны значения шести тригонометрических функций. Поскольку это так, добавим $0$ , чтобы оставить значение неизменным.

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.3.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.4.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.4.3

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.4.3.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.4.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.5

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.7

Угол $\frac{π}{4}$ ― это угол, для которого известны значения шести тригонометрических функций. Поскольку это так, добавим $0$ , чтобы оставить значение неизменным.

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.8

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.9.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.9.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.10.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.10.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.10.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 2.1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

Этап 2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Этап 2.3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.4.2

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.4.3

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 2.5

Перепишем ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.6

Развернем $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.7.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.7.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Этап 2.7.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Этап 2.7.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.7.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 2.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 2.8.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.9

Перепишем $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ в виде $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Этап 2.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 3.73205080 \dots$