Тригонометрия Примеры

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2.4

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2.5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.6

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Этап 2.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 2.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.2

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.3

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.4

Перепишем $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Этап 7

Сократим общий множитель ${(1 + \sin (x))}^{2}$ и $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ в виде $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ — тождество