Тригонометрия Примеры

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Этап 2

Так как $\cot (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\cot (- x)$ в виде $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Этап 3

Так как $\cos (- x)$ — четная функция, перепишем $\cos (- x)$ в виде $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Этап 4

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Этап 5.2

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 5.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 5.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 5.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 6

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 7.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Этап 7.2

Чтобы записать $- \sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.3

Объединим $- \sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.2

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.2

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.4

Умножим $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.2

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.4

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 7.5.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Этап 7.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Этап 7.5.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Этап 7.5.5

Добавим $- {\sin (x)}^{2}$ и ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Этап 7.5.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 9

Объединим.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Этап 11

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 13

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$- \csc (x)$

Этап 14

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 15

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ — тождество