Тригонометрия Примеры

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ равно $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ и $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 5.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 5.4

Объединим $- 1$ и $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ на $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 6.2

Умножим $u$ на $u$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 7

Развернем $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим противоположные члены в $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ и $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.1.2

Добавим $- u \sqrt{u^{2} + 25}$ и $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.1.3

Добавим $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2

Перепишем ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ в виде $u^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в виде ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.2.5

Упростим.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.4

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.2.4.2

Умножим $u$ на $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим противоположные члены в $u^{2} + 25 - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вычтем $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.3.1.2

Добавим $0$ и $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 8.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 9

Перепишем $\frac{5^{2}}{u^{2}}$ в виде ${(\frac{5}{u})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 11

Объединим.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 13

Умножим $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ на $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ на $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 14.2

Возведем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Этап 14.3

Возведем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

Этап 14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Этап 14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

Этап 14.6

Перепишем ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ в виде $u^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u^{2} + 25}$ в виде ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

Этап 14.6.5

Упростим.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$