Тригонометрия Примеры

$\cos (x) + \sin (x) = 1$

Этап 1

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(\cos (x) + \sin (x))}^{2} = {(1)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(\cos (x) + \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\cos (x) + \sin (x))}^{2}$ в виде $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $\cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.4

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.5

Переставляем члены.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(1)}^{2}$

Этап 2.7.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(1)}^{2}$

Этап 2.7.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 x) = {(1)}^{2}$

Этап 3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \sin (2 x) = 1$

Этап 4

Перенесем все члены без $\sin (2 x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) = 1 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 9.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 13

Проверим каждое решение, подставив его в $\cos (x) + \sin (x) = 1$ и решив.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$