Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Этап 1

Найдем значение $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\tan (112.5)$ : $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Представим $112.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Этап 2.1.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.6

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.7

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.12

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Этап 2.1.4.13

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.15

Упростим.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.16

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.17

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.18

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.19.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.19.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.19.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.19.5.4.4

Разделим $\sqrt{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Этап 2.1.4.20

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.4.21

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $3 + 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ в виде ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Этап 2.5.5

Упростим.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 2.9

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 4

Умножим $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Этап 5

Умножим $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Этап 6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Этап 8

Сократим общий множитель $- 2 + 2 \sqrt{2}$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 9

Сократим общий множитель $- 2 + 2 \sqrt{2}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Этап 10

Перепишем $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ в виде $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Этап 11

Умножим $0.60355339$ на $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Этап 12

Умножим $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$- - 0.5$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $- 0.5$ .

$0.5$